并查集

等价关系是满足下列3个性质的关系R：

  1. 自反性，对于所有的a∈S，有aRa。
  2. 对称性，aRb当且仅当bRa。
  3. 传递性，若aRb且bRc,则aRc。

如何判断a和b是否是等价的的呢？或者说如何将两个有等价关系的元素划入一个集合中？

一个满足a∈S的元素a，其等价类是S的这样一个子集：它包含了所有与a有等价关系的元素。也就是说，等价类形成了对S的划分：S的每一个成员都恰好出现在了一个等价类中，如果a等价b(记作a~b)，只需要验证a和b是否在同一个等价类中。

最开始时，所有的元素的都是独立的，或者说是每个元素的等价集合中只有自己，我们这种没有任何相同元素的两个集合为不相交的。
接下来，要判断元素之间是否是等价的，只需要执行两个操作，一个是查找find，一个是合并union，就是说，首先查找两个元素之间是否已经在同一个等价类中了，称为find，如果不在且两者有某种符合条件的等价关系，就对两者进行合并操作，去掉两者各自集合，生成一个新的集合，称为union。这项工作因此也被称为不相交集的union/find算法。
这种算法是动态的，因为随着算法的执行，集合通过union操作而发生改变。同时，该算法也必然是联机的，当find执行时，它必须给出答案，然后算法才能继续下去。另外有一种脱机的算法，需要观察全部的union和find序列。

联机和脱机：联机是指必须执行当前任务才会进行下一步，脱机是指可以获取到全部的内容，只要在规定的时间或空间范围内完成即可。类似于笔试和面试，笔试一般是脱机的——你只要在考试时间内完成试卷即可，面试一般是联机的——你只有回答了当前的问题，才能继续回答下一个提出的问题。

基本数据结构

对于查找操作来说，我们并不需要返回任何特定的名称或其他，而只需要两个元素在相同集合时，通过find操作两者能够得到相同的结果。于是，我们可以用树来表示每一个集合（树的集合称为森林），因为同一棵树上的每个元素都能找到相同的根。
那么，我们就可以这样做，使用一个数组来表示各元素的父节点，初始化是-1表示是根节点，在union(x,y)操作时，规定将x作为了y这颗树的父节点。

并交的过程

union(4,5)后，5的父节点指向了4，union(6,7)后，7的父节点指向了6，再union(4,6)后，6的父节点指向了4。
简单实现如下，需要说明，这可以完成上述的操作，但不是好的实现。

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class UnionSets {
public:
    explicit UnionSets(int nums);

    int find(int x) const;

    void unionSet(int root1, int root2);

private:
    vector<int> s;
};

UnionSets::UnionSets(int nums) 
    : s(nums, -1) { }

int UnionSets::find(int x) const {
    if(s[x] < 0) {
        return x;
    }
    return find(s[x]);
}

void UnionSets::unionSet(int root1, int root2) {    
    s[root2] = root1;
}

灵巧求并算法

上述我们规定union(x,y)，总是将y的根节点指向x，这是比较随意的，可想而知随着树深度的增加，递归的程度也越深。
那么，我们就要考虑如何在合并的过程中，减少树的深度的增加。
我们可以想到两种方法，一是按大小合并——总是将较小的树合并到较大的树上；二是按高度合并——总是将浅的树合并到深的树上。这并不是困难的，因为我们完全可以用记录位置的数组来记录树的大小和高度，比如一个位置上的值是-3，就可以表示这棵树的大小或高度是3，合并的过程就是负数相加的过程，初始时数组中都是-1（不过高度是从0开始，需要存储的高度减个1）。

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// 假设是做过了检查操作了，入参都是合法的
void UnionSets::unionSet(int root1, int root2) {    
    if(s[root2] < s[root1]) {   // root2的根更深
        s[root1] = root2;
    }
    else {
        if(s[root1] == s[root2]) { // 相同的话就升高1
            --s[root1];
        }
        s[root2] = root1;
    }
}

路径压缩

我们对于union操作进行了一定程度的优化，同样，find操作也可以更聪明些。在最开始的find操作中，我们只是按照顺序地递归查找了整颗树，如果要查找的元素处于树的很深的位置，相当于每次都要查找相当长的路径。
基于空间局部性的原理，我们有理由这么做——如果要查找的元素较深，那么我们可以把它和其路径上的元素向上提一提。
这种较为聪明的操作叫做路径压缩，当我们要查找x元素时，从x到根路径上的每一个节点，都让其父节点变成根节点。

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int UnionSets::find(int x) const {
    if(s[x] < 0) {
        return x;
    }
    return s[x] = find(s[x]);
}

路径压缩和按大小合并的做法是完全兼容的，因此可以结合两者做到快速的求不相交集。

一个应用

不相交集最常见的应用就是用于生成一个迷宫，迷宫仅有唯一一条通关路线，并有许多的干扰路线，相当于x和y在且仅在一个等价集合中。于是我们可以用若干相连的方块拼接成一个矩形，从左上角的x方块开始，到右下角的y结束，每次都任意选择两个方块进行合并，直到能find到x和y。